Perbedaan antara anuitas biasa (ordinary annuity) dan anuitas dimuka (annuity due) adalah saat pembayaran pertama. Pada anuitas biasa pembayaran pertama dilakukan pada satu periode yang akan datang atau satu periode setelahnya. Sedangkan pada anuitas dimuka pembayaran dilakukan pada awal periode atau hari ini.
Anuitas yang sering digunakan adalah anuitas biasa. Perhitungan anuitas biasa menghasilkan nilai yang hampir sama untuk periode yang besar. Namun, untuk periode yang lebih pendek, hasilnya cukup berbeda. Aplikasi yang hampir pasti menggunakan anuitas dimuka adalah kontrak leasing jangka panjang atau kontrak capital lease.
Nilai Sekarang Anuitas Di Muka
Menghitung Nilai Sekarang (PVDUE) Menggunakan Cara Manual
PVDUE = \frac{[1-(1+i)^{-(n-1)}]}{i} A + A
PVDUE ={ {\frac{1-(1+i)^{-n+1}}{i}+1} }x A
Dimana:
PVDUE : nilai sekarang (present value) anuitas di muka
i : tingkat bunga per periode
n : jumlah periode
A : anuitas atau pembayaran per periode
Contoh 1
Hitunglah nilai sekarang dari Rp 4.000.000,00 yang diterima setiap bulan selama 10x mulai hari ini jika tingkat bunga relevan adalah 12% p.a. atau 1% per bulan !
Diket:
A = 4.000.000
n = 10x
i = 12% p.a. =1% = 0,01 per bulan
Ditanya : PVDUE ?
Dijawab:
PVDUE ={ {\frac{1-(1+i)^{-n+1}}{i}+1} } x A
PVDUE ={ {\frac{1-(1+0,01)^{-10+1}}{0,01}+1} } x 4.000.000
PVDUE ={ {\frac{1-(1,01)^{-9}}{0,01}+1} } x 4.000.000
PVDUE ={ {\frac{1-0,91434}{0,01}+1} } x 4.000.000
PVDUE ={ {\frac{0,08566}{0,01}+1} } x 4.000.000
PVDUE ={ {8,566+1} } x 4.000.000
PVDUE =9,566 x 4.000.000
PVDUE =38.264.000
Menghitung Nilai Cicilan Anuitas Di Muka (A)
A=\frac{PV}{\frac{1-(1+i)^{-n+1}}{i}+1}
Contoh 2
Sella meminjam uang ke Bank Arta sebesar Rp 25.000.000,00 dengan tingkat bunga 12%p.a. Apabila pinjaman harus dilunasi dalam waktu 24 kali cicilan yang dimulai hari ini, berapa besar cicilan per bulan?
Diket:
PV = 25.000.000
i = 12% p.a.= 1% per bulan
n = 24 x
Ditanya : A ?
Dijawab:
A=\frac{PV}{\frac{1-(1+i)^{-n+1}}{i}+1}
A=\frac{25.000.000}{\frac{1-(1+0,01)^{-24+1}}{0,01}+1}
A=\frac{25.000.000}{\frac{1-(1,01)^{-23}}{0,01}+1}
A=\frac{25.000.000}{\frac{1-0,795442}{0,01}+1}
A=\frac{25.000.000}{\frac{0,204558}{0,01}+1}
A=\frac{25.000.000}{20,45582+1}
A=\frac{25.000.000}{21,45582}
A= 1.165.184,96
Menghitung Nilai atau Jumlah Periode
n=-\frac{log (1- \frac {PV.i}{A} )}{log (1+i)}+1
Contoh 3
Tn Kamil yang sudah bekerja 35 tahun pada sebuah perusahaan BUMN telah mencapai masa purnabakti, untuk itu ia mendapatkan uang pensiun sebsar RP 350.000.000 sekaligus. ia memutuskan untuk mengambil sebesar 6.000.000 setiap bulan mulai hari ini dan menyimpan sisanya dala deposito satu bulanan dengan bunga % p.a. dalam berapa tahun depositonya akan habis?
Diket:
PV = 350.000.000-6.000.000= 344.000.000
i = 12% p.a.= \frac{12}{1}= 1% = 0,01
A = 6.000.000
Ditanya : n ?
Dijawab:
n= –\frac{log (1- \frac {PV.i}{A} )}{log (1+i)}+1
n= –\frac{log (1- \frac {344.000.000x 0.01}{6.000.000} )}{log (1+0.01)}+1
n= –\frac{log (1- \frac {3.440.000}{6.000.000} )}{log (1,01)}+1
n= –\frac{log (0,4267)}{log (1,01)}+1
n= –\frac{-0,3699}{0,0043}+1
n= 85,6 +1 = 86,6 bulan = 7 tahun 2 bulan
Anuitas Dimuka Nilai Akan Datang (FVDUE)
Menghitung Nilai FVDUE
FVDUE = FV (ordinary annuity) x (1+i)
FVDUE = \frac{[(1+i)^n - 1]} {i} x A (1+i)
Contoh 4
Berapa nilai yang akan datang pada akhir tahun ke 10 dari tabungan Nona Rara yang disetor sebesar Rp 1.000.000,00 setiap tahun selama 10 kali dan disetor mulai hari ini jika tingkat bunga sebesar 5%.
Diket:
n = 10
A = 1.000.000
r = 5% p.a. = 0,05
Ditanya: FVDUE?
Dijawab:
FVDUE = \frac{[(1+i)^n - 1]} {i} x A (1+i)
FVDUE = \frac{[(1+0,05)^10 - 1]} {0,05} x 1.000.000 (1+0,05)
FVDUE = \frac{[(1,05)^10-1]}{0,05} x 1.050.000
FVDUE = \frac{[(1,628895-1]}{0,05} x 1.050.000
FVDUE = \frac{0,628895}{0,05} x 1.050.000
FVDUE = 12,5779 x 1.050.000
FVDUE = 13.206.795,00
Menghitung Nilai Cicilan Anuitas Di Muka (A) & jumlah periode (n)
A = \frac{FV} {\frac {[(1+i)^n - 1]}{i} (1+i)}
n = –\frac{log (\frac{FV.i}{A(1+i)} +1)} {log(1+i)}
Contoh 5
Tn Ali ingin memiliki uang sebesar 400.000.000 saat dia pensiun nanti, tepatnya 20 tahun lagi. Untuk tujuan itu ia akan menyisihkan gajinya setiap bulan untuk ditabung mulai hari ini karena hari ini adalah hari gajian selama 20 tahun kedepan. Berapa besar tabungan bulanan yang harus Tn Ali lakukan jika tingkat bunga 6%p.a.?
Diket:
FV = 400.000.000
n = 20 tahun x 12 = 240
r = 6% p.a. = 0,005 per bulan
Ditanya: Angsuran atau Anuitas?
Dijawab:
A = \frac{FV} {\frac {[(1+i)^n - 1]}{i} (1+i)}
A = \frac{400.000.000} {\frac {[(1+0,05)^{240} - 1]}{0,05} (1+0,005)}
A = \frac{400.000.000} {\frac {[(1,005)^{240} - 1]}{0,005} (1,005)}
A = \frac{400.000.000} {\frac {[(3,31020448 - 1]}{0,005} (1,005)}
A = \frac{400.000.000} {\frac {[(2,31020448 ]}{0,005} (1,005)}
A = \frac{400.000.000} {462,040896 x 1,005)}
A = \frac{400.000.000} {464,3511)}
A = 861.417,147
Contoh 6
Tn Fauzan berencana untuk menabung tiap bulan sebesar Rp 500.000,00 dimulai hari ini untuk bisa mendapatkan uang sebesar Rp 25.000.000, untuk membeli sepeda motor jika tingkat bunganya adalah 6%p.a. Berapa waktu yang diperlukan Tn Fauzan untuk bisa membeli sepeda motor?
Diket:
A = 500.000
FV = 25.000.000
r = 6% p.a. = 0,005 per bulan
Ditanya: lama periode tabungan?
Dijawab:
n = –\frac{log (\frac{FV.i}{A(1+i)} +1)} {log(1+i)}
n = –\frac{log (\frac{25.000.000x0,005}{500.000(1+0,005)} +1)} {log(1+0,005)}
n = –\frac{log (\frac{125.000}{500.000(1,005)} +1)} {log(1,005)}
n = –\frac{log (\frac{125.000}{502.500} +1)} {log(1,005)}
n = –\frac{log (0,248756 +1)} {log(1,005)}
n = –\frac{log (1,248756)} {log(1,005)}
n = –\frac{0,096478} {0,002166}
n = -44,542013
Anuitas Di Tunda (Deferred annuity)
Anuitas di tunda adalah suatu pembayaran yang dilakukan bukan akhir periode (anuitas biasa) atau dimuka, namun pembayarannya dilakukan setelah beberapa periode atau setelah m periode. Persamaan untuk anuitas di tunda:
PVm-1= \frac{[1-(1+i)^{-n}]} {i} A
atau
PV = PV0 = \frac{(PV)_{m-1}} {(1+i)^{m-1}}
= \frac{\frac{[1-(1+i)^{-n}]} {i}A} {(1+i)^{m-1}}
Contoh 7
Hitung nilai sekarang dari arus kas sebesar 1.000.000 setiap tahun selama 4 x dimulai lima tahun lagi jika i = 10%p.a.
Diket:
A = 1.000.000
n = 4
r = 10% p.a. = 0,1
m= 5
Ditanya: lama periode tabungan?
Dijawab:
PV = \frac{\frac{[1-(1+i)^{-n}]} {i}A} {(1+i)^{m-1}}
PV = \frac{\frac{[1-(1+0,1)^{-4}]} {0,1}1.000.000} {(1+0,1)^{5-1}}
PV = \frac{\frac{[1-(1,1)^{-4}]} {0,1}1.000.000} {(1,1)^{4}}
PV = \frac{\frac{[1-0,683]} {0,1}1.000.000} {1,4641}
PV = \frac{\frac{[0,317]} {0,1}1.000.000} {1,4641}
PV = \frac{\{3,17 x 1.000.000} {1,4641}
PV = \frac{\{3.170.000} {1,4641}
PV = 2.165.152,65351
SOAL LATIHAN ANUITAS DIMUKA DAN DITUNDA
DAFTAR PUSTAKA
Frensidy, Budi. 2019. Matematika Keuangan, Edisi keempat, Jakarta: Salemba Empat.