Anuitas bertumbuh (Growing annuity) adalah rangkaian pembayaran atau penerimaan uang dengan besar yang tidak sama tetapi bertumbuh dengan tingkat pertumbuhan yang sama.
Nilai Sekarang Anuitas Bertumbuh
Menghitung Nilai Sekarang (PV)
PV = \frac{1-[\frac{(1+g)}{(1+i)}]^{n}} {(i-g)}A1
PV = \frac{1-[\frac{(1+g)}{(1+i)}]^{n-1}} {(i-g)}A1 + A0
Dimana: i>g,
i : tingkat bunga diskonto (tingkat bunga relevan)
g : tingkat pertumbuhan
n : jumlah periode
A0 : anuitas atau pembayaran hari ini (Anuitas di Muka)
A1 : anuitas atau pembayaran satu periode lagi (Anuitas Biasa)
Contoh 1. Hitung nilai sekarang dari suatu pembayaran sebesar Rp 10.000.000,00 tahun depan, Rp 11.000.000,00 tahun berikutnya, dan seterusnya tumbuh sebesar 10% setiap tahun selama 10 kali, di mana tingkat bunga nominal j1 = 12%.
Diketahui:
A1 = Rp 10.000.000
i = 12% = 0,12
g = 10 % = 0,1
n = 10
Jawab:
PV = \frac{1-[\frac{(1+g)}{(1+i)}]^{n}} {(i-g)} x A1
PV = \frac{1-[\frac{(1+0,1)}{(1+0,12)}]^{10}} {(0,12-0,1)} x 10.000.000
PV = \frac{1-[\frac{(1,1)}{(1,12)}]^{10}} {(0,02)} x 10.000.000
PV =\frac{1-0,835115} {(0,02)} x 10.000.000
PV = 8,244217 x 10.000.000
PV = 82.442.173
Nilai Sekarang Anuitas Bertumbuh Dengan Ms. Excel
Contoh 2. Hitunglah nilai sekarang dari suatu penerimaan sebesar Rp 1.000.000,00 awal tahun ini, Rp1.100.000,00 tahun berikutnya, dan seterusnya yang tumbuh sebesar 10% selama 15 kali dengan tingkat bunga 13% p.a.
Diketahui:
A0 = Rp 1.000.000
A1 = Rp 1.100.000
i = 13% = 0,13
g = 10 % = 0,1
n = 15
Jawab:
PV = \frac{1-[\frac{(1+g)}{(1+i)}]^{n-1}} {(i-g)} x A1 + A0
PV = \frac{1-[\frac{(1+0,1)}{(1+0,13)}]^{15-1}} {(0,13-0,1)} x 1.100.000+1.000.000
PV = \frac{1-[\frac{(1,1)}{(1,13)}]^{14}} {0,o3} x 1.100.000+1.000.000
PV = \frac{1-0,686119} {0,o3} x 1.100.000+1.000.000
PV = 10,642703 x 1.100.000+1.000.000
PV = 11.508.974 + 1.000.000
PV = 12.508.974
Dijawab Dengan Excel
Perpetuitas Bertumbuh
untuk kasus Perpetuitas dengan pembayaran atau penerimaan setiap periode tidak sama tetapi tumbuh dan berkembang dengan tingkat pertumbuhan g yang sama selama periode – periode tertentu, persamaan Perpetuitas Bertumbuh sebagai berikut:
PV0 = PV = \frac{A1} {(i-g)}
atau
PV0 = PV = \frac{D1} {(k-g)}
dan
P0 = PV = \frac{A1} {(i-g)} + A0
dimana:
P0 atau PV0 = Harga Wajar (nilai Intrinsik) saat ini
D1 = Perkiraan deviden tahun depan
k atau i = tingkat bunga diskonto
g = tingkat pertumbuhan
A0 = arus kas hari ini
A1 = arus kas periode berikutnya
Contoh 3. Berapa harga wajar saham yang diperkirakan memberikan dividen sebesar Rp 220 tahun depan jika tingkat bunga diskonto adalah 5% p.a dan dividen tahun ini yang baru saja dibayarkan adalah Rp 200 ?
Diketahui:
k = 15% = 0,15
D1 = 220
D0 = 200
mencari dulu tingkat pertumbuhan dividen ( g )
g = \frac{D1-D0}{D0} = \frac{220-200}{200} = \frac{20}{200} = 10 % = 0,1
P0 = PV = \frac{D1} {(k-g)}
P0 = PV = \frac{220} {(0,15-0,1)}
= \frac{220} {(0,05)}
= 4.400
Contoh 4. sebuah saham baru saja memberikan dividen sebesar Rp 150 dan diperkirakan dividen akan mengalami pertumbuhan 6 % setiap tahunnya.jika tingkat bunga relevan adalah 12%, berapa nilai intrinsik saham ini ?
Diketahui:
g = 6% = 0,06
k = 12% = 0,12
D0 = 150
Menghitung dividen tahun depan (D1) dulu
D1 = D0 (1+g)
D1 = 150 (1+0,06)
D1 = 159
P0 = PV = \frac{D1} {(k-g)}
P0 = PV = \frac{159} {(0,12-0,06)}
= \frac{159} {(0,06)}
= 2.650
Contoh 5. Mana yang lebih menarik, menerima uang pensiun sebesar Rp 120.000.000 hari ini atau tahun depan dan terus naik sebesar 10% setiap tahun selama seumur hidup? Asumsikan tingkat bunga yang relevan adalah 15% p.a
Diketahui:
A1 = 2.200.000
i = 15% = 0,15
g = 10% = 0,1
Kita akan Menghitung Nilai sekarang dari perpetuitas bertumbuh untuk dibandiungkan dengan Rp 120.000.000 kemudian kita akan memilih yang lebih besar tentunya, karena kita akan menerima.
PV = \frac{A1} {(i-g)}
P0 = PV = \frac{2.200.000} {(0,15-0,1)}
= \frac{2.200.000} {(0,05)}
= 44.000.000
Jadi menerima Rp 120.000.000 hari ini lebih menarik
Anuitas Variabel
Yaitu anuitas yang hampir sama dengan anuitas bertumbuh, jika tingkat pertumbuhan dalam anuitas bertumbuh dinyatakan dalam presentase atau deret geometri sedangkan tingkat pertumbuhan pada anuitas variabel dinyatakan dalam deret aritmatik.
- Deret aritmatik misalnya A, A+Q, A+2Q, A+3Q, dst..
- Anuitas variabel ini bisa menurun yaitu tingkat pertumbuhannya negatif dan bisa meningkat atau tingkat pertumbuhannya positif.
PV = A\frac{1-(1+i)^{-n}} {(i)}+ Q\frac{\frac{1-(1+i)^{-n}} {(i)}-n(1+i)^{-n}} {(i)}
Dimana:
PV = Nilai sekarang
A = nilai anuitas awal
Q = nilai pertumbuhan deret aritmatik
n = jumlah periode
i = tingkat bunga
Contoh 6. Hitung nilai sekarang dari arus kas berikut, jika diketahui i= 10 % !
Diketahui:
A = Rp 360.000
Q = A2 – A1
Q = 350.000 – 360.000
Q = -10.000
i = 10 % = 0,1
n = 16
Jawab
cari dulu
(1+i)^{-n} = (1+0,1)^{-16} =1,1^{-16} = 0,22
PV = A\frac{1-(1+i)^{-n}} {(i)}+ Q\frac{\frac{1-(1+i)^{-n}} {(i)}-n(1+i)^{-n}} {(i)}
PV = 360.000\frac{1-0,22} {(0,1)}+ (-10.000)\frac{\frac{1-0,22} {(0,1)}-(16)(0,22)} {(0,1)}
PV = 360.000 x 7,82+ (-10.000)\frac{7,82-3,48} {(0,1)}
PV = 2.816.535,11 -10.000 x 43,4164
PV = 2.816.535,11 – 434.164
PV = 2.382.370,86
Anuitas Variabel Meningkat
Anuitas variebel meningkat adalah anuitas variabel yang nilai pertumbuhan deret aritmatik (Q)>0.
Contoh 7. Hitung nilai sekarang dari arus kas Rp 22.000.000 tahun depan yang meningkat Rp 2.000.000 setiap tahun selama empat kali jika tingkat bunga yang relevan adalah 10 % p.a.
Jawab
Diketahui:
A = Rp 22.000.000
Q = 2.000.000
i = 10 % = 0,1
n = 4
cari dulu
(1+i)^{-n} = (1+0,1)^{-4} =1,1^{-4} = 0,68
PV = A\frac{1-(1+i)^{-n}} {(i)}+ Q\frac{\frac{1-(1+i)^{-n}} {(i)}-n(1+i)^{-n}} {(i)}
PV = 22.000.000\frac{1-0,68} {(0,1)}+ 2.000.000\frac{\frac{1-0,68} {(0,1)}-(4)(0,68)} {(0,1)}
PV = 22.000.000 x 3,17+ 2.000.000\frac{3,17-2,73} {(0,1)}
PV = 69.737.040 +(2.000.000 x 4,378116)
PV = 69.737.040 + 8.756.232
PV = 78.493.272
Latihan Soal
DAFTAR PUSTAKA
Frensidy, Budi. 2019. Matematika Keuangan, Edisi keempat, Jakarta: Salemba Empat.